سری هارمونیک


سری نامتناهی را سری هارمونیک یا همساز می گویند. علت نامگذاری این سری به این عنوان به این دلیل است که طول موجهای حاصل از ارتعاش های یک تار مرتعش با نسبت های متناسب است. این سری اگرچه به کندی افزایش می یابد اما از دسته سریهای واگرا است و حاصل آن بینهایت است.

  • اثبات واگرایی سری هارمونیک:

برای اثبات همگرایی این سری می توان جملات آن را به این صورت نوشت:

مجموع جملات در هر گروه بزرگتر از است و چون تعداد گروهها که مجموع جملاتشان بزرگتر ازاست نامتناهی است مجموعه جزیی سری از هر عدد دلخواه بزرگتر می شود. پس این سری همگرا نمی باشد.

  • این اثبات به نیکُل اورسم(Nicole d'Oresme) منسوب است. وی اولین فردی بود که در مورد واگرایی سری هارمونیک اثباتی را ارائه داد، اما این اثبات برای قرنها گم نام باقی ماند. بعد از او به ترتیب پیترو منگُلی(Pietro Mengoli) در سال 1647، یوهان برنولی(Johann Bernoulli) در سال 1687و بعدها یاکوب برنولی(Jakob Bernoulli)، اثباتهایی برای واگرایی این سری ارائه کردند. البته با استفاده از آزمونهای همگرایی سریها از جمله آزمون انتگرال هم می توان واگرایی این سری را نشان داد.

همچنین در شکل نمودار تعییرات مقدار سری بر حسب تعداد جملات را مشاهده می کنید. مشاهدی می شود این سری هر چند کند، در نهایت به سمت بینهایت میل می کند.

تصویر
  • لازم به توضیح است سری تعمیم یافته سری هارمونیک است که به آن تابع زتای ریمان(Riemann zeta Function) می گویند.

سری هارمونیک متناوب


سری را سری هارمونیک متناوب می گویند که حاصل آن با استفاده از سری تیلر لگاریتم طبیعی بدست می آید و برابر است با . همچنین این سری را نیز می توان حالت خاص از تابع اتای دیریکله(dirichlet eta function )دانست.

حال اگر قرار دهیم x=1 خواهیم داشت:

پس تساوی فوق برقرار است.

در شکل زیر نمودار تغییرات مقدار سری هارمونیک متناوب را بر حسب تغییرات تعداد جملات مشاهده می کنید:

img/daneshnameh_up/3/3a/NaturalLoalter.gif

 

عدد هارمونیک


عدد هارمونیک عددی است که از جمع جملات سری هارمونیک بوجود می آید. n امین عدد هارمونیک را با نماد نشان می دهند و به این صورت تعریف می کنند:

  • سرعت رشد عدد هارمونیک با سرعت رشد لگاریتم طبیعی عدد n تقریبا برابر است. به عبارت دیگر حد نسبت این دو وقتی n به سمت بینهایت میل می کند برابر با یک است. پس مقدار در هر مرحله تقریبی از است که با افزایش هر چه بیشتر n این اختلاف این دو کمتر می شود و اعداد هارمونیک با افزایش n به مقدار لگاریتم طبیعی عدد n نزدیک می شوند.

برهان:  با توجه به تعریف n امین عدد هارمونیک داریم:

حال وقتی n زیاد و زیادتر می شود و به بینهایت میل می کند داریم:

از طرفی با استفاده از تعریف مجموع ریمان و انتگرال معین داریم: 

پس خواهیم داشت:

که با توجه به حاصل انتگرال فوق داریم: 

پس وقتی n به بینهایت میل می کند مقدار عدد هارمونیک به نزدیک می شود(ولی با آن برابر نمی شود) و با آن همرفتار است.
در شکل زیر نمودار تغییرات عدد هارمونیک را با افزایش n مشاهدی می کنید:

img/daneshnameh_up/a/aa/HarmonicNumber_1000.gif

 

سری هارمونیک عمومی


سری را سری هارمونیک عمومی(کلی) می گوییم. علت این است که در یک حالت خاص a=1,b=0 این سری به سری هارمونیک تبدیل می شود و لذا یک حالت کلی از سری هارمونیک است. تمامی سری ها به این شکل همانند سری هارمونیک واگرا هستند.
برهان: برای بررسی وضعیت همگرایی این سری از آزمون مقایسه حد استفاده می کنیم. 
به این منظور از سری هارمونیک کمک می گیریم. میدانیم این سری واگرا است پس:

پس سری از نظر همگرایی با سری هارمونیک یکسان است پس این سری واگرا است.

بررسی سری هارمونیک


اگر در سری هارمونیک، کسرهایی را که مخرجشان غیر اول است برداریم سری حاصل می شود که همانند سری هارمونیک واگرا است.
واگرایی سری فوق نخستین بار توسط اویلر(Euler) به اثبات رسید.

  • اثبات واگرایی سری فوق:

در رابطه با اثبات واگرایی سری هارمونیک تشکیل شده از اعداد اول روش های مختلفی وجود دارد، که در اینجا تنها به روشی که خود اویلر برای اثبات به کار برد اشاره می کنیم.(سایر راهها در صفحه ای جداگانه آورده شده است)
او ابتدا سری هارمونیک را در نظر گرفت:

همچنین او میان تابع زتای ریمان و  اعداد اول p رابطه زیر را پیدا کرده بود که به نام فرمول ضرب اویلرشناخته می شود: 

که مقصود از ضرب روی تمام اعداد اول است. از سوی دیگر: 

پس او با توجه به مطالب فوق نتیجه گیری نمود:

او همچنین نتیجه گرفت که تعداد اعداد اول برای برقراری این تساوی باید نامتناهی باشد چرا که در صورت متناهی بودن اعداد اول p در سمت راست تساوی، حاصل ضرب در سمت راست همگرا به عددی خواهد بود و در نتیجه نشان دهنده همگرا بودن سری هارمونیک است که این یک تناقض ایجاد می کند. پس تعداد اعداد اول برای برقراری تساوی فوق نامتناهی است.
اویلر از این رابطه استفاده کرد تا به دنباله ای بیکران دست بافت.
او ابتدا از دو طرف لگاریتم گرفت(لگاریتم طبیعی) و سپس از بسط تیلر استفاده نمود:

برای یک مقدار ثابت C و کمتر از یک چون همان طور که قبلا اشاره شد سری هارمونیک با (ln(n همرفتار است(به عبارت دیگر وقتی n به بینهایت میل می کند نسبت آنها به یک میل می کند) , با توجه به نامساوی اویلر در نهایت نتیجه گرفت:

پس می توان نتیجه گرفت این سری واگرا است.
به این ترتیب اویلر نشان داد سری نامتناهی دنباله معکوس اعداد اول همانند سری هارمونیک با افزایش n، همرفتار با (ln(n است یا به عبارتی وقتی n به بینهایت میل می کند مقدار سری برابر با (ln(n است.

مطالبی شگفت انگیز از سری هارمونیک


با بررسی سری هارمونیک کتوجه می شویم این سری ویژگی های جالب و شگفت آوری دارد که در اینجه به برخی از آنها اشاره می کنیم:
مجموع جزیی این سری را برای چند مقدار n بدست آورید:

به این ترتیب مجموع بیست جمله اول سری هارمونیک تنها حدود است!
حال به نظر شما اگر بخواهیم مجموع این سری به عدد بیست برسد چند جمله این سری را باید با هم جمع کنیم؟
شاید باورتان نشود که اگر جمله اول این سری را با هم جمع کنیم یا به عبارتی را محاسبه کنیم حاصل حتی به عدد چهارده هم نمی رسد   که بوسیله آن می توان مجموع جزیی سری هارمونیک را به ازائ هر n محاسبه کرد.  با محاسبه مقدار داریم:

محاسبات نشان میدهد مجموع جزیی این سری حتی بعد از جمله همچنان کمتر از بیست است!!!
حال خوتان را برای مطلبی شگفت آورتر اماده کنید. فکر می کنید چند جمله این سری را باید محاسبه کنیم تا حاصل مجموع جزیی سری از عدد 100 بیشتر شود؟
جالب است بدانید برای تحقق این امر باید یا بیش از پانزده میلیون تریلیون تریلیون تریلیون جمله این سری را با هم جمع کرد!!!
مقداد دقیق جملات مورد نیاز به این صورت است:

برای بررسی این مطلب به محاسبات زیر توجه کنید:

بنابراین:

مطلب جالب دیگر این است که با اندکی تغییر می توان این سری را به یک سری همگرا تبدیل کرد.
به عنوان مثال سری را در نظر بگیرید. جملات این سری خیلی یه جملات سری هارمونیک نزدیک هستند و اختلاف آنها بسیار ناچیز است. به عنوان مثال اختلاف جمله هزارم سری هارمونیک و سری برابر با است و این اختلاف در جملات بعدی کمتر می شود. بنابراین در یک نگاه سریع و عجولانه می توان گفت سری همانند سری هارمونیک واگرا است در حالی که می دانیم سری یک p-سری است با توان p>1  پس همگرا است!

مثال جالب دیگر این است که اگر از بین جملات سری هارمونیک جملاتی را که در مخرج آنها رقم یک وجود دارد حذف کنیم سری جدیدی به این صورت حاصل می شود:

حالا حدس شما چیست؟ فکر می کنید این سری همگرا است یا واگرا؟
جالب است بدانید در سال 1914، یکی از دانشجویان دانشگاه ایلینویز آمریکا ثابت کرد که این سری همگرا است و مقدار همگرایی آن کمتر از 90 است.
همچنین قبلا نشان دادیم اگر در سری هارمونیک جملاتی که مخرجشان غیر اول است حذف کنیم سری زیر حاصل می شود که واگرا است:

دو مطلب اخیر به خوبی این نکته را نشان می دهد که حذف تعداد نامتناهی جمله از میان جملات یک سری می تواند در همگرایی و واگرایی سری تاثیر بگذارد

   + فرزانه (ربابه)دریاباری - ٦:٤۳ ‎ب.ظ ; ۱۳٩٢/٦/٢٢

 

آزمون مقایسه حد


از دیگر آزمونها در زمینه تشخیص همگرایی سری ها آزمون مقایسه حد است. این آزمون بیان می کند:
اگر و دو سری با جملات مثبت باشند اگر موجود و مخالف صفر باشد آنگاه دو سری مورد نظر از نظر همگرایی مانند همدیگر هستند یعنی یا هر دو واگرا و یا هر دو همگرا هستند.
  • با بیان یک مثال روش استفاده را توضیح می دهیم:
می خواهیم همگرایی سری را بررسی کنیم.
می دانیم که سری سری هارمونیک است و یک سری واگرااست. حال داریم:
پس دو سری فوق از نظر هگرایی همانند همدیگر هستند و چون سری واگرا است پس سری هم واگرا است

   + فرزانه (ربابه)دریاباری - ٦:٤٢ ‎ب.ظ ; ۱۳٩٢/٦/٢٢

 


آزمون واگرایی


از جمله آزمون های پر کاربرد در تعیین وضعیت همگرایی سریها آزمون واگرایی است که بیان می کند:
اگر یک سری باشد و داشته باشیم:
آنگاه سری واگرا است. در واقع ای شرط شرطی کافی برای واگرایی یک سری است
اساس این آزمون را قضیه زیر تشکیل می دهد:
  • قضیه: اگر سری همگرا باشد آنگاه
برهان:می دانیم بین مجموع جزیی سری و جملات آن چنین رابطه ای برقرار است:
حال فرض می کنیم سری فوق به عددی حقیقی چون L همگرا باشد در این صورت:
چون حذف تعداد متناهی جمله از جملات سری در همگرایی و مقداد همگرایی تاثیر ندارد.
پس داریم:
و حکم ثابت می شود.
  • لازم به توضیح است که عکس این قضیه برقرار نمی باشد و اگر در این سری حد برابر صفر باشد نمی توان گفت لزوماً سری  همگرا است، و این شرط سرطی لازم (و نه کافی) برای همگرایی یک سری است.
حال می دانیم عکس نقیض هر قضیه هم برقرار است(به طور کلی عکس نقیض گزاره با آن گزاره هم ارز است(چرا؟)) پس از عکس نقیض قضیه فوق داریم:
اگر سری حد مخالف صفر باشد(یا حتی موجو نباشد یا نامتناهی باشد) سری واگرا است.
به عنوان مثال در سری چون پس سری واگرا است.

   + فرزانه (ربابه)دریاباری - ٦:٤۱ ‎ب.ظ ; ۱۳٩٢/٦/٢٢

 

آزمون مقایسه



آزمون مقایسه از جمله آزمونهایی است که برای تعیین وضعیت همگرایی و واگرایی سریها با جملات حقیقی و مختلط استفاده می شود. اساس کار این آزمون بر پایه مقایسه جملات سری مورد بحث با جملات یک سری است که از وضعیت همگرایی آن اطلاع داریم. پس برای انجام این آزمون نیاز به در نظر گرفتن یک سری دیگر که از وضعیت همگرای آن اطلاع داریم، می باشد. این آزمون به دوصورت انجام می گیرد که به شرح آنها می پردازیم:
  • آزمون مقایسه نوع اول:
این آزمون بیان می کند اگر یک سری همگرا باشد و عدد حقیقی C (غیر وابسته به n) چنان موجود باشد که آنگاه سری هم همگرا است. 
همچنین اگر سرییک سری واگرا باشد وآنگاه سرییک سری واگرا است.
به طور خلاصه می توان گفت اگر دو سری و را داشته باشیم که آنگاه:
  • اگر سری همگرا باشد آنگاه سری نیز همگرا است.
  • اگر سری واگرا باشد آنگاه سری نیز واگرا است.
  • آزمون مقایسه نوع دوم:
نوع دیگری از آزمون مقایسه به این صورت است که اگر سری همگرا باشد و عددی حقیقی چون C غیر وابسته به n به گونه ای موجود باشد که آنگاه سری همگرا است.
همچنین اگر سری واگرا باشد و آنگاه سری نیز واگر است.
به طور خلاصه اگر و دو سری باشند کهآنگاه:
  • اگر همگرا باشد آنگاه سری نیز همگرا است.
  • اگر سری واگرا باشد آنگاه سری نیز واگرا است.
این بیان از این آزمون بر اساس آزمون نسبت دالامبرنتیجه گرفته شده است.
  • حال با ارائه چند مثال روش انجام آزمون را برسی می کنیم:

می خواهیم وضعیت همگرایی سری را بررسی کنیم. می دانیم به ازای n>3 داریم: پس در نتیجه داریم
و چون سری همگرا است پس سری هم همگرا است.

حال می خواهیم همگرایی سری را بررسی کنیم. می دانیم که پس  از طرفی می دانیم سری سری هارمونیک است و واگرا است پس در نتیجه سری  نیز واگرا است.  

   + فرزانه (ربابه)دریاباری - ٦:٤٠ ‎ب.ظ ; ۱۳٩٢/٦/٢٢

 

آزمون نسبت دالامبر

آزمون نسبت معیاری است برای تعیین وضعیت همگرایی یا واگرایی سریهایی با جملات حقیقی یا مختلط.
این آزمون نخستین بار توسط دالامبر(Jean le Rond d'Alembert) مطرح گردید و به همین دلیل به آن آزمون نسبت دالامبر یا به اختصار آزمون دالامبر می گویند، همچنین این آزمون گاهی با عنوان آزمون نسبت کوشی هم گفته می شود.
این آزمون بیان می کند:
اگریک سری باشد و داشته باشیم:آنگاه:
  • اگر باشد سری همگرا است.
  • اگر باشد سری واگرا است.
  • اگر باشد آنگاه آزمون بی نتیجه است و برای تشخیص وضعیت همگرایی باید از سایر آزمونها استفاده شود.
  • با ارائه چند مثال از حالات مختلف روش کار را به صورت عملی نشان می دهیم:

  • به عنوان مثال وضعیت همگرایی سری  را با این آزمون بررسی می کنیم:
بنابراین چون L<1 است پس سری فوق همگرا است.
  • حال می خواهیم وضعیت همگرایی این سری را بررسی کنیم:
داریم:
بنابراین چون L>1 است پس سری فوق واگرا است.
  • حال یک مورد را بررسی می کنیم که در آزمون دالامبر بی نتیجه باشد. یعنی نتوانیم بوسیله این آزمون وضعیت همگرایی را تعیین کنیم. به عنوان مثال دنباله را در نظر بگیرید. بر طبق دستور آزمون داریم:
بنابراین چون L=1 است پس آزمون دالامبر بی نتیجه است و برای تعیین همگرایی باید از سایر آزمونها استفاده شود.

  • حالت L=1 و آزمون راب:
همانطور که در توضیح آزمون نسبت دالامبر گفته شد اگر در سری داشته باشیم آنگاه آزمون بی نتیجه خواهد بود. در این صورت یکی از راههای بررسی همگرایی سری استفاده از آزمون راب است. این آزمون توسط ریاضی دانی به نام رابتصویر(Raabe) ابداع شد و بوسیله آن در حالت L=1  هم می توان در مورد همگرایی یا واگرایی سری بحث کرد.
روش او چنین بود:

اگر در سری داشته باشیم   آنگاه در صورتی که عدد مثبتی چون C موجود باشد که: 
آنگاه این سری همگرا خواهد بود.

   + فرزانه (ربابه)دریاباری - ٦:۳٩ ‎ب.ظ ; ۱۳٩٢/٦/٢٢

 

در ریاضی سری عبارت است از مجموع جملات یک دنباله.به عبارت دیگر سری شماری از اعداد است که بین آنها عملگر جمع قرار گرفته است.

...+5+4+3+2+1

سریها بر دو نوعند:سریهای متناهی و نامتناهی؛که سریهای متناهی را می توان با اعمال ساده جبری محاسبه کرد،ولی  برای محاسبه سریهای نامتناهی باید از آنالیز کمک گرفت.
به عنوان مثال سری زیر یک سری متناهی است.




سری نامتناهی، سری میباشد که جملات آن محدود نیست.
به این سری توجه نمایید:

این سری یک سری عددی نامتناهی میباشد.که در حالت کلی به صورت زیر نشان داده میشود.که به آن سری هندسی میگویند.


a را جمله اول و k را قدر نسبت سری می نامند.اگر 1>k باشد این سری همگرا خواهد بود.

در صورتی که به سمت یک عدد متناهی سیر کند آن را همگرا مینامند. در غیر این صورت به آن یک سری واگرا گویند.

سزی توانی

حال به معرفی نوع دیگری از سریها به نام سریهای توانی می پردازیم:سریهایی را که جملات آن توابعی از متغیر x باشند را سریهای توانی گویند.و مجموعه مقادیر از x که به ازای آنها توابع موجود در سری تعریف شده و سری همگرا باشد را میدان همگرایی سری گویند.

هر سری تابعی به شکل   
را یک سری توانی بر حسب  میگویند.واضح است که جملات آن به فرم زیردر میآید:

   + فرزانه (ربابه)دریاباری - ٦:۳۸ ‎ب.ظ ; ۱۳٩٢/٦/٢٢

 

در ریاضیات، مفهوم حد، برای بیان رفتار یک تابع مورد استفاده قرار می گیرد و به بررسی این رفتار در نقاط روی صفحه و یا در بی نهایت می پردازد. حد در حساب دیفرانسیل و انتگرال و نیز در آنالیز ریاضی برای تعریف مشتق و نیز مفهوم پیوستگی مورد استفاده قرار می گیرد. 
ریاضیدانها حتی قبل از اینکه بتوانند مفهوم دقیق حد را بیان کنند، در مورد آن بحث می کرده اند. یونانیان باستان درکی از مفهوم حد داشته اند. مثلاً ارشمیدس مقدار تقریبی  را با استفاده از محیط چند ضلعیهای منتظم محاط در دایره به شعاع واحد، وقتی که تعداد اضلاع بدون کران افزایش می یابد به دست می آورد. در قرون وسطی نیز تا زمان رنسانس انواع مفاهیم حد برای بدست آوردن مساحت شکلهای مختلف به کار رفته است.

نیوتن و لایب نیتس در قرن هفدهم، درک شهودی خوبی از حد داشته و حتی حدهای پیچیده ای را نیز محاسبه کرده اند. اما نه آنها و نه در آن قرن، دانشمندان دیگر تعریف دقیقی از حد را ارائه نکرده اند.

یک قرن پس از پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال، آلمبرت در سال 1754 عنوان کرد که پایه منطقی مباحث این رشته از دانش بشری مفهوم حداست. کوشی در اوایل قرن نوزدهم حساب دیفرانسیل و انتگرال را به شکلی شبیه آنچه در حال حاضر می خوانیم ارائه داد:

"وقتی که مقادیر متوالی به یک متغیر نسبت داده می شود، بی نهایت به عدد ثابتی نزدیک شوند، به طوری که اختلاف آنها از مقدار ثابت به هر اندازه کوچک قابل انتخاب باشد، این مقدار ثابت را حد همه مقادیر متغیر می گویند."

اگر چه تعریف او از حد باز هم دقیق نبود ولی او قدم بزرگی برای رسیدن به تعریف دقیق فعلی برداشت. تا اینکه سرانجام ویراشتراس در قرن نوزدهم تعریف دققی حد را مطرح کرد که همواره مورد استفاده ریاضیدانان است و در این کتاب نیز آورده شده است.

حد تابع در یک نقطه


اگر یک تابع و یک عدد حقیقی باشد و داشته باشیم: آن گاه این فرمول را چنین میخوانیم << حد تابع f وقتی که x به سمت می رود برابر L است>> توجه کنید که این عبارت حتی اگر
باشد نیز می تواند درست باشد. در عوض تابع در نقطه c تعریف نشده است.حالی مثالی را ذکر می کنیم:تابع زیر را در نظر میگیریم




حال متغیر x را به عدد2 نزدیک می کنیم و خواهیم دید که مقدار تابع به 0.4 نزدیک می شود. در این مورد مشاهده می شود که در این صورت گزینه تابع در نقطه X=C دارای 
پیوستگی است. اما همیشه این مورد برقرار نیست. 

img/daneshnameh_up/6/6d/limits1.gif
منحنی زرد رنگ در همه جا پیوسته بوده و دارای حد است ولی سه شکل دیگر نمایانگر انواع ناپیوستگی یک نمودار در یک نقطه است

تعریف مجرد حد: 


فرض کنید f تابعی باشد روی یک بازه باز که شامل نقطه C است و فرض کنید L یک عدد حقیقی باشد در این صورت را به صورت زیر تعریف میکنیم:
به ازای هروجود دارد یک که برای هر x دلخواه اگر آنگاه نتیجه بگیریم:

حد توابع در بی نهایت

حد یک تابع فقط در نزدیکی اعداد متناهی تعریف نمی شود بلکه ممکن است متغیر توابع وقتی که بی نهایت نزدیک می شود دارای حد باشند.
به عنوان مثال در تابع خواهیم داشت:

  • f(100) = 1.9802
  • f(1000) = 1.9980
  • f(10000) = 1.9998

مشاهده میشود که هر چه قدر x بزرگتر میشود ،مقدار تابع به عدد 2 نزدیکتر میشود .در واقع داریم:


حد یک دنباله

حد یک دنباله مانند 1.79, 1.799, 1.7999,... را در نظر بگیرید. مشاهده می کنیم که این دنباله به عدد 1.8 نزدیک می شود.
به طور کلی فرض می کنیم یک دنباله از اعداد حقیقی باشد. می گوییم حد این دنباله برابر L است و می نویسیم: اگر و تنها اگر برای هر   یک عدد طبیعی مانند m باشد که برای هر n>m  داشته باشیم
باید توجه کرد که ما می توانیم مقدار . را به عنوان فاصله بین و L در نظر بگیریم به چنین دنباله هایی که حد آنها به یک عدد متناهی میل می کند همگرا گویند و گرنه به آن واگرا گویند

   + فرزانه (ربابه)دریاباری - ٦:۳٦ ‎ب.ظ ; ۱۳٩٢/٦/٢٢

 


انتگرال گیری یکی از دو عامل اساسی در حسابان میباشد و از آنجائیکه برخلاف مشتق گیری، غیر-جزیی می باشد، جداول انتگرالهای شناخته شده اغلب مفید می باشند. این صفحه عمل معکوس مشتق گیری های معمول را فهرست نموده است؛ یک فهرست  کاملتر را میتوانید در فهرست انتگرالها)) بیابید.

ما از C برای یک مقدار ثابت دلخواه در انتگرال گیری استفاده مینماییم، که در صورتی قابل تعیین خواهد بود که اطلاعی از مقدار انتگرال در نقطه‌ای داشته باشیم. لذا هر تابع تعداد نامحدودی انتگرال دارد.

:
:


:


:
:


:
:
:


:
:
:
:
:
:


:
:
:
:


:
:
:
:
:
:

این معادلات صرفا در شکل دیگری در جدول مشتقات بیان شده‌اند.


انتگرالهای معین


توابعی وجود دارند که عمل معکوس مشتق گیری را برای آن توابع نمی توان در شکل بسته نمایش داد. بهرحال، مقادیر انتگرالهای محدود این گونه توابع را میتوان در فاصله های متعارف محاسبه نمود. ذیلا، تعداد کمی از انتگرالهای محدود ارائه شده‌اند.

:
:
:
:
:

   + فرزانه (ربابه)دریاباری - ٦:۳٤ ‎ب.ظ ; ۱۳٩٢/٦/٢٢
← صفحه بعد